Dynamique des systèmes
Un système dynamique décrit l’évolution d’un système en fonction du temps.
Les composantes qui caractérisent ce système sont des variables d’état, représentées par une fonction d’état qui décrit sa progression.
L'étude des systèmes dynamiques vise à décrire les changements dans le temps et l'espace — les transformations — de l'état des systèmes, en fonction des causes de ces changements, dans la mesure où ces causes sont les interactions internes entre les objets du système.
L’idée de système fournit un cadre d’analyse pour l’étude des phénomènes physiques, ainsi que des outils d’abstraction mathématique permettant de les étudier.
Lorsque l'évolution des systèmes dynamiques peut être modélisée par des systèmes d'équations différentielles ordinaires, le comportement de chaque variable du système est défini par sa tendance à tout moment — augmenter, diminuer, rester stable — en fonction de l'influence des autres variables.
On résout mathématiquement un système dynamique si l'on peut retracer l'évolution de chaque variable en fonction du temps, c’est-à-dire intégrer les équations différentielles.
Systèmes dynamiques à temps discrets
Un système dynamique à temps discret est un système dont l’évolution est décrite par étapes, c’est-à-dire en un nombre fini d’instants.
Les variables du système sont réactualisées à intervalles réguliers, à la manière d’un métronome, ou du moins à des moments précis dans le temps, plutôt qu’en continu.
Ces systèmes peuvent être exprimés par des équations de récurrence (ou boucles), qui décrivent l’évolution des variables du système d'une étape à la suivante, en fonction de leur état actuel et des entrées.
Une analogie existe entre la récurrence d'une équation et la boucle for en programmation informatique : la récurrence permet de définir une suite de valeurs qui évolue à chaque itération.
Le principe de moindre action
« Lorsqu’il arrive quelque changement dans la nature, la quantité d’action nécessaire pour ce changement est la plus petite qui soit possible. »
— Pierre-Louis Moreau de Maupertuis
Les systèmes dynamiques à temps discret sont utilisés dans de nombreux domaines de la science et de l'ingénierie : biologie, physique, finance, ou encore intelligence artificielle.
Ils servent notamment à modéliser des systèmes de contrôle, des réseaux de neurones, ou encore des systèmes de traitement du signal.